Quelques problème aux limites obliques et non linéaires pour les equations de Laplace et de Lamé dans un domaine de classe C2
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Date
2015-06-10
Authors
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Publisher
University of M'sila
Abstract
Les problèmes aux limites non linéaires gouvernés par les opérateurs de Laplace et de Lamé font l'objet de recherche, depuis quelques années.
Dans ce travail, nous étudions trois problèmes aux limites obliques gouvernés par l'opérateur de Laplace ou de Lamé. Donc l'objet de cette étude est d'appliquer les téchniques suivantes pour traiter l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces problèmes ( le Laplacien et le système d'élasticité) avec des conditions aux limites non linéaires, en se basant sur la méthode de contraction de Brézis [2].
Notre travail est divisé en trois chapitres, voici une esquisse du plan de ce travail :
Le but de premier chapitre est d'introduire les outils mathématiques et nécessaires pour une bonne compréhension de la suite des problèmes traités. La première section, est consacrée aux espaces fonctionnels, nous passons en revue quelques résultats fondamentaux d'analyses fonctionnelles, concernant les espaces de Sobolev. Ensuite, dans la deuxième section nous donnons un rappel sur les opérateurs maximaux monotones.
Dans le second chapitre, on étudie l'existence, l'unicité et la régularité de la solution du
Laplacien avec des conditions aux limites non linéaires sur la frontière.
Plus précisément, dans ce chapitre on commence par étudier le problème suivant :
f dans (Q) , sur (P) .
Puis nous allons étudier un problème avec des conditions aux limites plus généralisées,
notament les conditions sur r seront remplacées par une condition plus générale de la forme
Ou
+ P (u) G [3 (u), où P est un opérateur différentiel du premier ordre à coefficients lipschitziens sur r.
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Introduction
Pour résoudre ces problèmes on va consédérer les problèmes approchés où l'on a remplacé [3 par l'approchant [3x est on résolu ces derniers problèmes en s'inspirant d'une méthode de contraction de Brezis [2] et par suite une intégration à priori basée sur la formule d'intégration par partie, un passage à la limite donne l'existence d'une solution dans H2 (Q).
Enfin dans le dernier chapitre, on étudiera la régularité de la solution d'un problème aux limites non linéaires, gouverné par l'opérateur de Lamé (Elasticité) avec des conditions non linéaires sur une partie de la frontière et les conditions de Drichlet sur l'autre partie. On formulera les conditions aux limites en termes d'opérateurs monotones, suivant les même techniques du chapitre 2. Plus précisément ; Q étant un ouvert borné de de classe C2 ,
F sa frontière, on étudièra le problème suivant :
p.p dans Q sur (FI) , sur (lb) .
Nous approchons notre problème par un problème non linéaire, en se basant sur une linéarisation de ce dernier problème nous allons chercher une estimation à priori sur la solution. Cette formulation des conditions aux limites, avec des graphes maximaux monotones, englobe plusieurs types de conditions issues des problèmes physiques, telles, par exemple, ceux de Dirichlet, Neumann, Signorini, une condition aux limites intervenant en élasticité avec frottement dans un problème de climatisation ( voir Duvaut-Lions ). L'association DirichletNeumann par exemple correspond à une plaque fixée sur un côté et libre sur l'autre.
Nous avons prouvé par un calcul explicite l'existence, l'unicité et la régularité de la solution de ces problèmes considérés.
Description
Keywords
Quelques problème : limites obliques : non linéaires : equations : Laplace : Lamé : domaine : classe C2