Résolution numérique des différentes classes d’équations aux dérivées partielles par différences finies et les éléments finis
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Date
2013-06-10
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Publisher
University of M'sila
Abstract
La recherche d’une solution numérique d’une EDP conduit à l’utilisation des
méthodes numériques qui permettent de trouver cette solution, par l’introduction de la notion de schémas aux di¤érences …nies. Ces méthodes proviennent de
la discrétisation d’opérateur di¤érentiel intervenant dans l’équation, moyennant
une hypothèse de régularité de la solution. Les di¤érents schémas que nous choisissions sont acceptables, si les notions de la consistance, la convergence et l’ordre
de la précision sont véri…ées car la solution approchée d’un schéma numérique
reste peu crédible tant que sa convergence n’a pas été montrée. Cette preuve
est sans doute le point le plus délicat de la méthode des di¤érences …nes si on
ne connait pas la solution analytique. Nous avons remarqué que pour l’équation
des ondes par exemple, la méthode des di¤érences …nies posait un problème,
et il fallait simpli…er certains termes et ajouter une condition supplémentaire
(condition de Neumann) et la donnée d’une telle condition n’est pas usuelle.
Nous serons souvent bloqués pour la résolution d’une équation hyperbolique si
nous utilisons seulement la méthode des di¤érences …nies et il fallait trouver une
autre méthode pour la résoudre. Par l’introduction de la notion des éléments
…nis nous trouvons que la solution est donnée avec une bonne approximation.
On conclut …nalement que pour résoudre un problème quelconque on utilise le
modèle (ou la méthode) qui est le mieux adapté pour résoudre ce problème.
En plus, ce travail nous a permis de connaitre qu’il existe plusieurs méthodes
numériques qui permettent d’approcher une équation aux dérivée partielles, ce
qui nous conduit à a¢ rmer qu’il n’existe pas une méthode numérique universelle
pour approcher la solution exacte.
Description
Keywords
Résolution numérique : différentes classes d’équations : dérivées partielles : différences finies ; éléments finis