Théorème des fonctions implicites et problèmes elliptiques
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Date
2015-06-10
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Publisher
University of M'sila
Abstract
Enmathématique,le théorème des fonction implicites est un résultat de géométrie di¤éretielle
Certaines courbes sont dé nies par une équation cartésienne, c est-à-dire une équation
de la forme f(x; y) = 0;ou x et y décrivent les nombres réels
Le théorème indique que si la fonction f est su¢ samment règulière au voisinage d un
point de la courbe, il existe une fonction ' de R dans R et au moins aussi régulière que f
telle que , la courbe et le graphe de la fonction ' sont confondus localement
Plus précisément, si (x0; y0) véri e l équationet si f est continument di¤érentiable et que
sa dérivée partielle par rapport à y en (x0; y0) n est pas nulle, alors il existe un voisinage de
(xo; yo) sur lequel la zone s identi e au graphe de '
Ce théorème admet une variante plus générale , qui s applique non plus au plan, mais
à des espaces de Banach, c est-à-dire des espaces vectoriels complets, Ce résultat est une
forme équivalente du théorème d inversion locale qui indique qu une fonction di¤érentiable et
su¢ samment régulière est localement inversible, c est une conséquence directe d un théorème
du point xe
Ce théorème se trouve dans di¤érentes branches des mathématique,sous cette forme ou
sous celle de l inversion locale Il permet de démontrer le mécanisme des multiplicateurs
de lagrange, il intervient dans un contexte plus géométrique , pour l étude des variétés
di¤érentielles ,on le trouve encore pour l étude des équations di¤érentielles ou il est, entre
autres, utilisé à travers le théorème du redressement d un ot, permettant de démontrer le
théorème de Poincaré-Bendixson Il dépasse le cadre des mathématiques les physiciens ou
les économistes en font usage, lorsque certaines variables ne peuvent être dé nies à l aide
d une fonction mais uniquement implicitement à l aide d une équation
Description
Keywords
Théorème des fonctions implicites et problèmes elliptiques