Problémes aux limites linéaires pourr l'équation de l'élasticité
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Date
2014-06-10
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Publisher
University of M'sila
Abstract
La théorie d élasticité est enseignée comme une extension de la statique, en écrivant
une relation d équilibre entre force f1 = f2. f1 est une force provoquée par la déformation
de la matière et f2 une force provoquée par l exertion de force à la surface de l objet. Les
quantités f1 et f2 sont des densités de force locale à un point de la matière f = f(x).
Autrement ces forces sont des tenseurs. Pour les obtenir, il faut par la pensée isoler une
partie de la matière et faire le bilan de toutes les forces qui s exercent sur toutes les faces
de cette portion. L étudiant arrivant en M2 découvre le calcul variationnel, une méthode
plus féconde sur le plan théorique et plus puissante sur le plan des calculs, et à l aide de
cet outil, redécouvre la mécanique. Toutes les méthodes confuses du calcul des forces de
réaction et des intégrales premières que l on trouve par des astuces sont abandonnées
au pro t d une méthode rigoureuse et presque automatique. Toute la dynamique se ré-
sume à un seul principe, la recherche de l extremum d une fonctionnelle. La puissance
de la méthode variationnelle se déchaîne quand l étudiant redécouvre les équations de
l électromagnétisme par l approche variationnelle. Il devient alors étonnant de constater
que l enseignement de l élasticité reste dans les limbes et que l on continue à le prodiguer
avec les techniques ine¢ caces pré-lagrangien. La raison peut être culturelle, la mécanique
analytique et la théorie des champs étant des sciences supérieures que l on ne pourrait
pas pratiquer sans l aide des outils élaborés, tandis que l élasticité est jugé comme une
science de
l ingénieur qui ne saurait quoi faire du calcul variationnel. Ceci est d autant plus
surprenant que les méthodes numériques telles que les éléments nis sont justement basées
sur l approche variationnelle.
Dans ce travail, nous avons essayé de donner un aperçu sur les probème aux limites
linéaire pour l élasticité.
Le mémoire est composer de trois chapitres, le premier chapitre contient des rappels
sur les distributions et les espaces de Soboleve classiques. Le deuxième chapitre concer-
nant quelques notions sur la théorie d élasticité linéaire. Le troisième chapitre contient les résultats d existance et d unnicité pour trois problèmes aux limites avec di¤érentes
conditions aux limites.
Description
Keywords
Problémes limites linéaires, l'équation élasticité